Учёт эффекта автовосполнения для оптимизации страховых товарных запасов

    В прикладной математике существует такая проблема, как оторванность теории от практики по причине невнимательности к условиям применимости математического аппарата. Говоря проще, существует устойчивая тенденция применения «подходящих» формул без глубокого понимания физики процесса.

    В широко распространённых методиках расчёта страхового запаса активно применяются формулы расчёта среднего и среднего квадратического отклонения, но лично я ни разу не встречал глубокого понимания различий их применимости для расчёта товарного запаса и, например, расчёта отклонения размеров изготовленных деталей при контроле их качества. Представим себе, что существует товар со следующим спросом на него:

Таблица 1 Спрос в штуках

Дни

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Спрос, шт.

6

4

4

5

8

3

6

4

5

8

3

7

5

2

7

3

8

4

3

4

8

2

6

5

2

7

6

4

5

3

8

4

   

    Для данного примера, среднее значение спроса Xср  будет равно: 4,969, или если округлить: 5

    Как вам известно, страховой запас должен представлять собой некий буфер, который позволяет гасить все отклонения продаж выше среднего. Таким образом, каждое отклонение спроса выше среднего приводит к тому, что страховой запас уменьшается. Проследим, что происходит со страховым запасом за первые три дня продаж в данном примере:

     Спрос в первый день на 6 – 5 = 1 штуку выше среднего, а значит, «залезает» в страховой запас на эту же величину. Во второй день продажи уже ниже среднего уровня 4 – 5 = -1 штука, а значит - страховой запас возвращается к своей прежней величине, невыкупленная во второй день единица товара автоматически нивелирует потерю от предыдущего дня. В третий день продажи опять ниже среднего уровня, 4 – 5 = -1 штука, а это уже означает, что 1 штука виртуально добавляется к страховому запасу.

    Этот эффект можно назвать эффектом автовосполнения страхового запаса. Всякий раз, когда спрос оказывается ниже расчётной средней величины, невыкупленный запас виртуально присоединяется к страховому запасу и реально присоединяется к остаткам товара на конец дня. Таким образом, в рассмотренном нами примере, за первые 8 дней продаж сумма составляет 40 штук, а это означает, что, несмотря на наличие пиков в 6 и 8 штук, эффект автовосполнения страхового запаса компенсировал все отклонения и сохранил на складе страховой запас в неприкосновенности. Прошу обратить внимание на глубокое отличие происходящего от расчёта отклонения в случае контроля размеров изготовленных деталей. При расчёте допуска по величине изделия, приходится иметь дело с отклонениями в обе стороны, так как детали больше и меньше необходимого уровня являются браком. А при расчёте страхового запаса отклонения ниже среднего ведут к совершенно противоположному эффекту, нежели отклонения выше среднего. Их взаимные колебания могут компенсировать друг друга, а значит и использовать формулу для расчёта как среднего, так и среднего квадратического отклонения в том виде, в котором её используют при расчёте допуска размеров, качества или надёжности не правомочно. Для демонстрации чего прошу обратить внимание на то, как происходит формирование страхового запаса в описанном выше примере:

    Среднее отклонение σ = 1/n * │X - Xср│ будет равно: 1,596. Поставки на склад происходят каждые 8 дней, то есть с равным интервалом поставки, как только на склад попадает товар от предыдущей поставки, происходит расчёт нового заказа, который в свою очередь поступает ещё через 8 дней. Эти условия выбраны лишь для упрощения картины при объяснении.

     Если рассчитать страховой запас для 8 дней по формуле Бауэрсокса-Клосса он будет равен: СЗ = 1,596 * √8  = 4,514. Здесь я намеренно выбрал коэффициент уровня сервиса 1, что в случае нормального распределения примерно соответствует 85%, для более наглядной демонстрации того, как проявляет себя эффект автовосполнения страхового запаса.

Рис. 1 Товарный запас при среднем отклонении 1,596

    Уровень страхового запаса показан здесь, как 10 штук, так как я округлил 4,514 до 5 штук и прибавил их к также округлённой величине среднего спроса. На рис.1 видна тенденция к затовариванию склада. Причиной её является то, что при расчёте не был учтён эффект автовосполнения страхового запаса. Отклонения спроса как ниже, так и выше среднего уровня учитывались равным образом, а в результате страховой запас не расходуется так, как это было рассчитано.

    Для того, чтобы правильно учитывать описанный здесь эффект могу рекомендовать рассчитывать среднее отклонение только для всех положительных отклонений, то есть для отклонений выше среднего уровня: σ = 1/n * │X - Xср│  для всех X > Xср. Математика расчёта среднего отклонения сводит это к тому, что обычный расчёт просто делится на два. Для тех, кто пользуется средним квадратическим отклонением приходится рассчитывать σкв=  Формуладля всех X > Xср, без возможности как-то упростить расчёт.

   Но для рассмотренного выше примера, я воспользуюсь средним отклонением делённым на два: 1,596/2=0,798.

    Если рассчитать страховой запас для 8 дней по формуле Бауэрсокса-Клосса он будет равен:0,798 * √8  = 2,257. На графике я указываю уровень страхового запаса как 8 штук, так как опять же округлил страховой запас вверх до целого 3 штуки и прибавил его к среднему спросу 5 штук 3 + 5 = 8 штук.

Рис.2 Товарный запас при среднем отклонении 0,798

    Если сравнить кривые на рис.1 и рис.2, то видно, что снижение уровня страхового запаса позволяет снизить товарный запас без потерь продаж, а только за счёт того, что мы перестаём учитывать в расчётах отклонения спроса ниже среднего. Страховой запас снижен на 2 штуки, а потерь продаж не наблюдается. Думаю, что все понимают, что такое снижение страхового запаса способствует улучшению рентабельности и увеличению чистой прибыли. Но как вы заметили, тенденция к затовариванию склада уменьшилась, но не исчезла полностью. Причиной этому является то, что учитывая только отклонения спроса выше среднего, не производится поправки на отклонения спроса ниже среднего, а эффект автовосполнения страхового запаса продолжает воздействовать увеличивая товарные остатки.

    Для того чтобы учесть это, предпочтительно выглядит такой вид расчёта, как суммирование спроса для периода равного периоду на который делается запас.  Иными словами, если нам нужен запас на 8 дней, то и считать следует сумму за 8 дней. Для данного примера это будет выглядеть следующим образом:

Таблица 2 Спрос в штуках и сумма за 8 дней

Дни

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Спрос, шт.

6

4

4

5

8

3

6

4

5

8

3

7

5

2

7

3

8

4

3

4

8

2

6

5

2

7

6

4

5

3

8

4

Сумма, шт.

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

39

 

    Среднее значение для 4-х периодов будет равно 39,75, а среднее отклонение: σ = 1/n * │X - Xср│ для всех X > Xср равно 0,375/2 = 0,1875. Как видно здесь, среднее отклонение стало меньше, так как максимумы и минимумы нивелируют друг друга и эффект автовосполнения уже частично учитывается простым суммированием. Если мы сложим средний спрос со средним отклонением и округлим, то получим потребный товарный запас в 40 штук. То есть, в данном случае практически можно обойтись без страхового запаса. Как это возможно?

    Для того, чтобы лучше понять происходящее, представлю уровень товарного запаса на начало каждого дня в виде таблицы:

Таблица 3 Товарный запас на начало дня в штуках

Дни

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Спрос, шт.

6

4

4

5

8

3

6

4

5

8

3

7

5

2

7

3

8

4

3

4

8

2

6

5

2

7

6

4

5

3

8

4

Товарный
запас, шт.

40

34

30

26

21

13

10

4

40

35

27

24

17

12

10

3

40

32

28

25

21

13

11

5

40

38

31

25

21

16

13

5

 

Рис.3 Товарный запас при расчёте суммы

    Сразу же должно быть заметно, что отсутствие страхового запаса приводит к тому, что на начало дня прихода новой партии на складе остаётся ровно столько товара, сколько будет раскуплено за этот день. В частности, прошу обратить внимание на то, что на начало 16-го дня остаётся всего 3 штуки. Наверное, вам очень хочется заметить, что тут дело в везении и, например, если 15-й и 16-й день поменяются местами (и ни средний спрос, ни среднее отклонение при этом не изменятся), то отсутствие страхового запаса сразу же приведёт к потерям в 4 штуки. Но на самом деле произойдёт следующее:

Таблица 3 Товарный запас на начало дня в штуках (для попадания минимума товарного запаса на один из максимумов продаж)

Дни

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Спрос, шт.

6

4

4

5

8

3

6

4

5

8

3

7

5

2

3

7

8

4

3

4

8

2

6

5

2

7

6

4

5

3

8

4

Товарный
запас, шт.

40

34

30

26

21

13

10

4

40

35

27

24

17

12

10

7

40

32

28

25

21

13

11

5

40

38

31

25

21

16

13

5

 

Рис.4 Товарный запас при расчёте суммы (для попадания минимума товарного запаса на один из максимумов продаж)

    Как видно из таблицы 4 и рис.4 товарный запас на 16-й день также увеличился за счёт того же эффекта автовосполнения страхового запаса, в частности, низкие продажи за предыдущий день создали дополнительный страховой запас, который покрыл возросшие потребности на следующий день. В результате страховой запас оказался самовосполняющимся и отказ от него в данном случае совсем не означает, что мы смогли покрыть лишь 50% продаж, как должно быть, если мы откажемся от страхового запаса. В данном случае среднее значение спроса обеспечило все 100% продаж. Как раз из-за этого до сих пор продолжают жить имеющие ещё распространение простые методики расчёта потребного запаса как произведения  среднего значения на период поставки. Их приверженцы на практике наблюдают действие эффекта автовосполнения страхового запаса и не понимают зачем ещё нужен страховой запас, когда товара итак хватает вплоть до следующей поставки.

     Я хочу сразу остановить желание критиковать данный подход, меняя местами максимумы и минимумы и находя такую комбинацию, когда отсутствие страхового запаса проявит себя негативным образом. Я не утверждаю, что нам вообще следует отказываться от страхового запаса, так как приведённый здесь пример является лишь ярко выраженной демонстрацией недооценки эффекта автовосполнения страхового запаса, а не попыткой опровергнуть существующие методики. Данный эффект проявляет себя сильнее на больших периодах расчёта и слабее на маленьких, он вносит коррективы в понимание уровня сервиса как такого, что ярко продемонстрировано выше, но тем самым открывает путь к экономии страхового запаса для больших периодов поставки, где казалось бы приходится смириться с большими товарными запасами. А главное, лишний раз является демонстрацией, того, как полезно иной раз правильно понимать условия применимости формул и находить новые решения там, где, казалось бы, всё давно изучено и оптимизировано. Одно из решений по расчёту адекватного страхового запаса можно скачать здесь: http://upravlenie-zapasami.ru/excel/.

 

Ярослав Кодесс

Копирование статьи возможно только вместе с этим текстом, с обязательным указанием автора, и ссылки на первоисточник: http://upravlenie-zapasami.ru/